Minimum risk kuralı yazar. Belirsizlik altında karar verme problemi. Belirsizlik altındaki işlemler

ve

Başlangıç ​​koşullarında ise K1 > K2, sonra

ve

Minimum risk yöntemi için K0=2.29 aşağıdakileri elde ederiz

Asgari hatalı karar sayısı yöntemi için K0 =2,57:

Maksimum olabilirlik yöntemi için K 0 =2,37:

Hesaplamaların sonuçlarını nihai tabloda özetliyoruz.

Görev numarası 2 için görevler.

Görev seçeneği, kayıt defteri numarasının son iki basamağı tarafından seçilir. Tüm görevlerde sınır değerinin belirlenmesi gerekir. K 0 , nesneleri iki sınıfa bölerek: kullanılabilir ve arızalı. Kararların sonuçları, grafik kağıdı üzerine kurulmuş ve çalışmaya yapıştırılmış bir grafikte (Şekil 9.1) çizilir.

Böylece, nesnenin teknik teşhisi parametreye göre gerçekleştirilir. K. Servis verilebilir bir nesne için parametrenin ortalama değeri verilir K 1 ve standart sapma σ 1 . sırasıyla hatalı için K2 ve σ 2 . Kaynak verilerde, her bir seçenek için fiyatların oranı da verilmiştir. C12/C21. Dağıtım K normal kabul edilir. Tüm varyantlarda P1=0,9; P2=0,1.

Görev seçenekleri tabloda verilmiştir. 2.1-2.10.

00÷09 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.1):

Bir obje- gaz türbini motoru.

Parametre- titreşim hızı (mm/sn).

Hatalı durum- motor rotor desteklerinin normal çalışma koşullarının ihlali.

Tablo 2.1

10÷19 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.2):

Bir obje- gaz türbini motoru.

Parametre Cu ) yağda (g/t).

Hatalı durum- artan konsantrasyon Cu

Tablo 2.2

20÷29 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.3):

Bir obje- yakıt sisteminin yakıt pompasını pompaladı.

Parametre- çıkıştaki yakıt basıncı (kg / cm 2).

Hatalı durum- çarkın deformasyonu.

Tablo 2.3

30÷39 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.4):

Bir obje- gaz türbini motoru.

Parametre- titreşim aşırı yükleri seviyesi ( g ).

Hatalı durum- yatakların dış yatağının yuvarlanması.

Tablo 2.4

40÷49 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.5):

Bir obje- bir gaz türbini motorunun mil arası yatağı.

Parametre- yatağın durumunu izlemek için vibroakustik cihazın okumaları (µа).

Hatalı durum- yatak yuvarlanma yollarında talaş izlerinin görünümü.

Tablo 2.5

50÷59 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.6)

Bir obje- gaz türbini motoru.

Parametre- demir içeriği ( Fe ) yağda (g/t).

Hatalı durum- artan konsantrasyon Fe dişli kutusundaki dişli bağlantılarının hızlandırılmış aşınması nedeniyle yağda.

Tablo 2.6

60÷69 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.7):

Bir obje- gaz türbini motorunu yağlamak için yağ.

Parametre- yağın optik yoğunluğu, %.

Hatalı durum- optik yoğunluğa sahip yağın azaltılmış performans özellikleri.

Tablo 2.7

70÷79 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.8):

Bir obje- yakıt filtresi elemanları.

Parametre- bakır kirlilik konsantrasyonu ( Cu ) yağda (g/t).

Hatalı durum- artan konsantrasyon Cu tahrik millerinin bakır kaplı spline bağlantılarının aşınma süreçlerinin yoğunlaşması nedeniyle yağda.

Tablo 2.8

80÷89 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.9)

Bir obje- eksenel pistonlu pompa.

Parametre- hacimsel olarak ifade edilen pompa performansının değeri

Verimlilik (1.0 kesirlerinde).

Hatalı durum- pompa arızasıyla ilişkili düşük hacimsel verim.

Tablo 2.9

90÷99 seçenekleri için başlangıç ​​verileri (Tablo 2.10)

Bir obje- sert çubuklardan oluşan uçak kontrol sistemi.

Parametre- eklemlerin toplam eksenel oynaması, mikron.

Hatalı durum- çiftleşme çiftlerinin aşınması nedeniyle artan toplam eksenel boşluk.

Tablo 2.10

Laboratuvar çalışması 2 "İletişim ağı desteklerinin çalışması ve teşhisi"

Amaç: bir temas ağının betonarme desteğinin korozyon durumunu belirleme yöntemleri hakkında bilgi edinin

İş emri:

1) ADO-3 cihazının çalışması hakkında kısa bir rapor inceleyin ve hazırlayın.

2) Minimum risk yöntemini kullanarak problemi inceleyin ve çözün (seçeneklere göre (dergideki numaraya göre)

3) Desteklerin durumunun nasıl teşhis edileceğine dair özel soruyu düşünün (eğim açısı hariç).

P.p. 1 ve 3 5 kişilik bir ekip tarafından gerçekleştirilir.

2. madde her öğrenci tarafından bireysel olarak gerçekleştirilir.

Sonuç olarak, bireysel bir elektronik rapor hazırlamak ve tahtaya eklemek gerekir.

Minimum risk yöntemi

Karar belirsizliğinin mevcudiyetinde, olayların olasılıksal doğasını hesaba katan özel yöntemler kullanılır. Teşhis konusunda karar vermek için parametrenin tolerans alanının sınırını atamanıza izin verirler.

Titreşim yöntemi ile betonarme desteğin durumu teşhis edilsin.

Titreşim yöntemi (Şekil 2.1), desteğin sönümlü titreşimlerinin azalmasının donatı korozyon derecesine bağımlılığına dayanmaktadır. Destek, örneğin bir germe ipi ve bir düşürme cihazı aracılığıyla salınım hareketiyle ayarlanır. Fırlatma cihazı önceden belirlenmiş bir kuvvete kalibre edilir. Destek üzerine ivmeölçer gibi bir salınım sensörü monte edilmiştir. Sönümlü salınımların azalması, salınım genliklerinin oranının logaritması olarak tanımlanır:

burada A2 ve A7 sırasıyla ikinci ve yedinci salınımların genlikleridir.

a) diyagram b) ölçüm sonucu

Şekil 2.1 - Titreşim yöntemi

ADO-2M, 1 ... 3 Hz frekansla 0,01 ... 2,0 mm salınım genliklerini ölçer.

Korozyon derecesi ne kadar büyük olursa, titreşimler o kadar hızlı bozulur. Yöntemin dezavantajı, salınım azalmasının büyük ölçüde zemin parametrelerine, desteğin gömülme yöntemine, desteğin üretim teknolojisindeki sapmalara ve beton kalitesine bağlı olmasıdır. Korozyonun gözle görülür bir etkisi, yalnızca sürecin önemli bir gelişimi ile kendini gösterir.

Görev, X parametresinin Xo değerini, X>Xo için desteğin değiştirilmesine ve X için X>Xo için bir karar verilecek şekilde seçmektir.<Хо не проводили управляющего воздействия.

. (2.2)

Destek salınım azalması sadece korozyon derecesine değil, aynı zamanda birçok başka faktöre de bağlıdır. Bu nedenle, azalma değerinin bulunabileceği belirli bir alandan bahsedebiliriz. Servis verilebilir ve aşınmış bir yatak için titreşim azalmasının dağılımları, şekil 2'de gösterilmiştir. 2.2.

Şekil 2.2 - Destek salınım azalmasının olasılık yoğunluğu

hizmet verilen alanların olması önemlidir. D 1 ve aşındırıcı D 2 durum kesişir ve bu nedenle x 0'ı kural (2.2) hatalı çözümler vermeyecek şekilde seçmek imkansızdır.

Tip I hatası- gerçekte destek (sistem) iyi durumdayken, korozyon (kusur) varlığı hakkında bir karar vermek.

Tip II hata- destek (sistem) aşınmışken (bir kusur içerirken) hizmet verilebilir durum hakkında bir karar vermek.

Birinci türden bir hatanın olasılığı, iki olayın olasılıklarının çarpımına eşittir: iyi bir duruma sahip olma olasılığı ve iyi bir durumda x > x 0 olma olasılığı:

, (2.3)

burada P(D 1) \u003d P 1 - desteğin iyi durumda bulunması için önceden bir olasılık (ön istatistiksel verilere dayanarak bilindiği kabul edilir).

Tip II hata olasılığı:

, (2.4)

Sırasıyla birinci ve ikinci tür c ve y hatalarının maliyetleri biliniyorsa, ortalama risk için bir denklem yazabiliriz:

Minimum ortalama risk koşulundan kural (2.5) için x 0 sınır değerini bulalım. (2.6) ve (2.7)'yi (2.8'de) yerine koyarak, R(x)'i x 0'a göre türevini alarak, türevi sıfıra eşitleriz:

= 0, (2.6)

. (2.7)

Bu, iki ekstremum bulmak için bir koşuldur - bir maksimum ve bir minimum. x = x 0 noktasında bir minimumun varlığı için ikinci türev pozitif olmalıdır:

. (2.8)

Bu, aşağıdaki duruma yol açar:

. (2.9)

f(x/D 1) ve f(x/D 2) dağılımları tek modluysa, o zaman aşağıdakiler için:

(2.10)

(4.58) koşulu sağlanır.

Sağlıklı ve hatalı (sistem) parametrelerinin dağılım yoğunlukları Gauss yasasına tabi ise, şu şekilde olur:

, (2.11)

. (2.12)

Bu durumda Koşullar (2.7) şu şekli alır:

. (2.13)

Dönüşüm ve logaritmadan sonra ikinci dereceden denklemi elde ederiz.

, (2.14)

b= ;

c= .

(2.14) denklemini çözerek, minimum riskin elde edildiği böyle bir x 0 değeri bulunabilir.

İlk veri:

Çalışma şartı:

Beklenen değer:

İyi bir sistem durumu olasılığı:

Standart sapma:

İyi durum için verilen maliyetler:

Arızalı durum:

Beklenen değer: ;

Minimum risk yöntemi. Bu yöntem, radar sorunları ile bağlantılı olarak geliştirilmiştir, ancak teknik teşhis problemlerinde oldukça başarılı bir şekilde kullanılabilir.

x parametresinin ölçülmesine izin verin (örneğin, ürünün titreşim seviyesi) ve ölçüm verilerine dayanarak, çalışmaya devam etme olasılığı (teşhis - iyi durum) veya ürünün gönderilmesi hakkında bir sonuca varılması gerekir. onarım (teşhis - hatalı durum).

Şek. 1, iki durum için x tanı parametresinin olasılık yoğunluğunun değerlerini gösterir.

Titreşim seviyesi için kontrol normunun ayarlanmasına izin verin.

Bu norm uyarınca aşağıdakileri kabul ederler:

İşareti, x titreşim düzeyine sahip bir nesnenin belirli bir duruma atandığı anlamına gelir.

Şek. 1, eğriler kesiştiği için herhangi bir değer seçiminin belirli bir riskle ilişkili olduğu sonucu çıkar.

İki tür risk vardır: servis verilebilir bir ürün hatalı olarak kabul edildiğinde "yanlış alarm" riski ve hatalı bir ürün iyi olarak kabul edildiğinde "hedefi kaçırma" riski.

İstatistiksel kontrol teorisinde, tedarikçinin riski ve alıcının riski veya birinci ve ikinci tür hatalar olarak adlandırılırlar.

Yanlış alarm olasılığı göz önüne alındığında

ve hedefi kaçırma olasılığı

İstatistiksel kararlar teorisinin görevi, optimal değeri seçmektir.

Minimum risk yöntemine göre, toplam tutar risk

yanlış alarmın “fiyatı” nerede; - hedefi kaçırmanın "fiyatı"; - ön tarafından belirlenen önsel teşhis olasılıkları (koşullar),

Pirinç. 1. Bir tanılama özelliğinin olasılık yoğunluğu

istatistiksel veri. Değer, hatalı bir karardaki kaybın "ortalama değerini" temsil eder.

Gerekli asgari koşuldan

alırız

Tek modlu dağılımlar için (23) koşulunun her zaman değerin minimumunu sağladığı gösterilebilir. Hatalı kararların maliyeti aynıysa, o zaman

Son ilişki, hatalı kararların toplam sayısını en aza indirir. Bayes yönteminden de izler.

Neumann-Pearson yöntemi. Bu yöntem, kabul edilebilir bir yanlış alarm olasılığı düzeyinde bir kusuru atlamanın minimum olasılığı koşulundan yola çıkar.

Böylece yanlış alarm olasılığı

izin verilen yanlış alarm seviyesi nerede.

İncelenen tek parametreli problemlerde, hedefi kaçırmanın minimum olasılığı şu durumlarda elde edilir:

Son koşul, parametrenin sınır değerini belirler (değer

Bir değer atarken aşağıdakileri dikkate alın:

1) Durum değerlendirme yöntemindeki kaçınılmaz hatalar nedeniyle hizmet dışı bırakılan ürünlerin sayısı, beklenen kusurlu ürün sayısını aşmalıdır;

2) Kabul edilen yanlış alarm değeri, kesinlikle gerekli olmadıkça normal çalışmayı bozmamalı veya büyük ekonomik kayıplara yol açmamalıdır.

Örnek 2.5. Örnek 2.1'de gösterilen sonuç matrisi için en iyi seçenekλ =1/2 için Hurwitz kriterine dayalı çözümler.

Çözüm. Sonuç matrisi Q satır satır göz önüne alındığında, her i için ci = 1/2minqij + 1/2maxqij değerlerini hesaplıyoruz. Örneğin, c1=1/2*2+1/2*8=5; benzer şekilde, c2=7; c3=6.5; c4=4.5. En büyüğü c2=7'dir. Bu nedenle, verilen bir λ =1/2 için Hurwitz kriteri ikinci seçeneğin seçilmesini önerir ( ben=2).

2.3. Kısmi koşullar altında birleştirilmiş bir karar grubunun analizi

belirsizlik

Karar verirken, karar verici olasılıkları biliyorsa pj gerçek durumun j seçeneğine göre gelişebileceğini düşünürsek, karar vericinin kısmi belirsizlik koşullarında olduğunu söyleriz. Bu durumda, aşağıdaki kriterlerden (kurallardan) biri tarafından yönlendirilebilirsiniz.

Ortalama beklenen geliri maksimize etmek için kriter (kural). Bu kritere de denir. maksimum ortalama getiri için kriter. Olasılıklar biliniyorsa pj gerçek bir durumun geliştirilmesi için seçenekler, daha sonra i-inci çözümden elde edilen gelir, bir dağıtım serisine sahip rastgele bir Qi değişkenidir.

Beklenen değer M[qi] rasgele değişken Qi'nin ortalama beklenen geliri, şu şekilde de gösterilir:

= M[qi ] = .

Çözümün her i-inci varyantı için değerler hesaplanır ve dikkate alınan kritere göre varyant seçilir.

Örnek 2.6.Örnek 2.1'in ilk verileri için, tam bir olay grubunu oluşturan dört seçeneğin her biri için gerçek bir durumun gelişme olasılıkları bilinsin:

p1=1/2, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6. Hangi çözümün en iyiyi sağladığını öğrenin ortalama gelir ve bu gelirin değeri nedir?

Çözüm. Her bir i-inci çözüm için beklenen ortalama geliri bulalım: =1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6, = 25/6, = 7, = 17/6. Maksimum ortalama beklenen getiri 7'dir ve üçüncü çözüme karşılık gelir.

Ortalama beklenen risk minimizasyon kuralı (diğer ad - minimum ortalama kayıp kriteri).

Önceki durumda olduğu gibi aynı koşullar altında, karar vericinin i-inci çözümü seçerken riski, dağıtım serisine sahip bir rastgele değişken Ri'dir.

Beklenen değer M ve şu şekilde de gösterilen ortalama beklenen risktir: = M = . . Kural, minimum ortalama beklenen riski içeren bir karar verilmesini önerir: .

Örnek 2.7 . İlk veriler, örnek 2.6'daki ile aynıdır. Hangi çözüm seçeneğinin en küçük ortalama beklenen riske ulaştığını belirleyin ve minimum ortalama beklenen riskin (kayıp) değerini bulun.

Çözüm. Her bir i-inci çözüm için ortalama beklenen riskin değerini buluyoruz. Verilen risk matrisi R'ye dayanarak şunu buluruz: = 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6, = 4, = 7/6, = 32 /6.

Bu nedenle, minimum ortalama beklenen risk 7/6'dır ve üçüncü çözüme karşılık gelir: = 7/6.

Yorum. Beklenen ortalama gelir (kazanç) veya beklenen ortalama risk (kayıp) hakkında konuşurken, bunlar, açıklanan şemaya göre karar verme sürecini tekrarlama olasılığı veya geçmişte böyle bir sürecin fiili olarak tekrarlanması anlamına gelir. Bu varsayımın koşulluluğu, bu tür tekrarların gerçek gerekli sayısının olmaması gerçeğinde yatmaktadır.

Laplpas'ın eşit fırsat kriteri (kural) (kayıtsızlık). Bu kriter, kısmi belirsizlik durumu ile doğrudan ilgili değildir ve tam belirsizlik koşulları altında uygulanır. Bununla birlikte, burada, ortamın tüm durumlarının (gerçek durumun tüm varyantları) eşit derecede olası olduğu varsayılır - bu nedenle kriterin adı. Daha sonra olasılıklar göz önünde bulundurularak yukarıda açıklanan hesaplama şemaları uygulanabilir. pj gerçek durumun tüm varyantları için aynıdır ve 1/n'ye eşittir. Bu nedenle, beklenen ortalama geliri maksimize etme kriteri kullanılırken, bunu başaran bir çözüm seçilir. . Ve beklenen ortalama riski en aza indirme kriterine göre bir çözüm seçeneği seçilir. .

Örnek 2.8.Örnek 2.1'in ilk verileri için Laplace fırsat eşitliği kriterini kullanarak, aşağıdakilere dayalı en iyi çözümü seçin: a) ortalama beklenen geliri maksimize etme kuralı; b) ortalama beklenen riski en aza indirmek için kurallar.

Çözüm. a) Gerçek durumun değişkenlerinin denkliği dikkate alındığında, her bir çözüm seçeneği için beklenen ortalama gelir = (5+2+8+4)/4=19/4, = 21/4, = 26/ 4, = 15/4. Bu nedenle üçüncü çözüm en iyisidir ve maksimum ortalama beklenen getiri 26/4'tür.

b) Her bir çözüm seçeneği için, durum seçeneklerinin denkliğini dikkate alarak risk matrisine dayalı olarak beklenen ortalama riski hesaplıyoruz: = (3+3+0+8)/4 = 14/4, = 3, = 7/4, = 18/4 . Üçüncü seçeneğin en iyisi olacağını ve minimum ortalama beklenen riskin 7/4 olacağını takip eder.

2.4. İki kriterli finansalın Pareto optimalliği

belirsizlik koşulları altında operasyonlar

Yukarıdakilerden, her kararın (finansal işlem) optimize edilmesi gereken iki özelliği vardır: ortalama beklenen getiri ve ortalama beklenen risk. Böylece, seçim en iyi çözüm iki kriterli bir optimizasyon problemidir. Çok kriterli optimizasyon problemlerinde ana kavram kavramdır. Pareto optimalitesi. Bu kavramı, belirtilen iki özelliği olan finansal işlemler için ele alalım.

Her operasyona izin ver a iki numarası var E(a),r(a)(örneğin, etkinlik ve risk); optimize ederken E artırmak için çabalamak r azalmak.

Bu tür optimizasyon problemlerini formüle etmenin birkaç yolu vardır. Bu sorunu genel olarak ele alalım. İzin vermek ANCAK - bazı operasyonlar ve farklı operasyonlar, en az bir karakteristikte zorunlu olarak farklılık gösterir. En iyi işlemi seçerken, arzu edilir E daha fazlaydı ve r daha azdı.

operasyon diyeceğiz a hakim operasyon b, ve tayin etmek bir > b eğer E(a) ≥ E(b) ve r(a) ≤ r(b) ve bu eşitsizliklerden en az biri katıdır. Aynı zamanda, operasyon a aranan baskın, ve operasyon b-egemen. Açıkça, domine edilen hiçbir işlem tanınamaz en iyisi. Bu nedenle en iyi operasyon domine edilmeyen operasyonlar arasında aranmalıdır. Baskın olmayan işlemler kümesine denir. set (etki alanı) Pareto veya Pareto optimalitesi seti.

Pareto kümesi için ifade doğrudur: özelliklerin her biri E,r diğerinin tek değerli bir fonksiyonudur, yani Pareto kümesinde, işlemin bir özelliği diğerini benzersiz şekilde belirleyebilir.

Analize geri dön finansal çözümler Kısmi belirsizlik koşulları altında. Bölüm 2.3'te gösterildiği gibi, her operasyon ortalama bir beklenen risk ile karakterize edilir. ve ortalama beklenen gelir. Değerlerini x ekseninde çizdiğimiz dikdörtgen bir koordinat sistemi sunarsak , ve y ekseni - değerlerde, her işlem bir noktaya karşılık gelecektir ( , ) koordinat düzleminde. Uçakta bu nokta ne kadar yüksek olursa, operasyon o kadar karlı olur; nokta ne kadar doğruysa operasyon o kadar risklidir. Bu nedenle, baskın olmayan işlemleri (Pareto kümeleri) ararken, yukarıdaki ve soldaki noktaları seçmeniz gerekir. Böylece, örnek 2.6 ve 2.7'nin başlangıç ​​verileri için Pareto seti, işlemin sadece üçte birini içermektedir.

Bazı durumlarda en iyi işlemi belirlemek için bazılarını uygulayabilirsiniz. tartma formülü,özelliklerin olduğu ve en iyi işlemi belirten tek bir sayı veren belirli ağırlıklarla girin. Örneğin, operasyon için izin verin iözelliklere sahip ( , ) ağırlık formülü forma sahiptir f(i) = 3 - 2, ve en iyi işlem maksimum değere göre seçilir f(i). Bu ağırlıklandırma formülü, operasyonun gelirinin en az iki birim artması durumunda karar vericinin riski üç birim artırmayı kabul ettiği anlamına gelir. Böylece ağırlıklandırma formülü, karar vericilerin gelir ve risk göstergelerine oranını ifade eder.

Örnek 2.9. Başlangıç ​​verilerinin örnek 2.6 ve 2.7'deki ile aynı olmasına izin verin, yani örnek 2.1'in sonuçları ve risk matrisleri için, gerçek durum geliştirme seçeneklerinin olasılıkları biliniyor: p1 =1/2, p2=1/6, p3= 1/6, p4=1/6. Bu koşullar altında, karar verici, aynı zamanda operasyonun geliri en az bir birim artarsa, riski iki birim artırmayı kabul eder. Bu durum için en iyi işlemi belirleyin.

Çözüm. Ağırlık formülü şu şekildedir: f(i) = 2 - . Örnek 2.6 ve 2.7'deki hesaplama sonuçlarını kullanarak şunları buluruz:

f(1) = 2*29/6 – 20/6 = 6,33; f(2) = 2*25/6 – 4 = 4,33;

f(3) = 2*7 – 7/6 = 12,83; f(4) = 2*17/6 – 32/6 = 0,33

Bu nedenle, üçüncü işlem en iyisidir ve dördüncüsü en kötüsüdür.

Konu 3. Finansal risklerin ölçüleri ve göstergeleri

Nicel risk değerlendirmesi. Tek bir operasyon riski. Genel risk önlemleri.

Bu konu, olası sonuçların olasılık dağılımlarının bilindiği veya bulunabileceği varsayıldığında ve ikinci durumda dağılım yoğunluğunun her zaman açıkça belirtilmesinin gerekli olmadığı durumlarda kriterleri ve karar verme yöntemlerini tartışır.

3.1. Niceliksel Risk Değerlendirmesine Genel Metodolojik Yaklaşımlar

Risk olasılıklı bir kategoridir, bu nedenle niceliksel değerlendirme yöntemleri, olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin en önemli kavramlarına dayanmaktadır. Dolayısıyla, istatistiksel risk hesaplama yönteminin ana araçları şunlardır:

1) beklenen değer m, örneğin, bir finansal işlemin sonucu gibi rastgele bir değişken k: m = E{k};

2) dağılım rastgele bir değişkenin değerlerinin varyasyon derecesinin bir özelliği olarak k gruplandırma merkezinin etrafında m(varyansın, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisi olduğunu hatırlayın. );

3) standart sapma ;

4) varyasyon katsayısı , ortalama gelir birimi başına risk anlamına gelir.

Yorum. Küçük bir set için n değerler - küçük örnek! - Ayrık rassal değişken Kesin olarak söylemek gerekirse, sadece tahminler listelenen risk önlemleri .

Yani, numunenin ortalama (beklenen) değeri, veya matematiksel beklentinin seçici analogu , miktardır, nerede Ri- rastgele bir değişkenin değerini gerçekleştirme olasılığı k. Tüm değerler eşit derecede olasıysa, rastgele bir örneğin beklenen değeri formülle hesaplanır.

Aynı şekilde, örnek varyans (örnek varyans ) örnekteki standart sapma olarak tanımlanır: veya

. İkinci durumda, örnek varyansı teorik varyansın taraflı tahmini . Bu nedenle, formül tarafından verilen varyansın yansız bir tahmininin kullanılması tercih edilir. .

Açıkça görülüyor ki, tahmin aşağıdaki gibi hesaplanabilir veya .

Açıkça görülüyor ki, tahmin varyasyon katsayısı şimdi şeklini alıyor.

Risk altındaki ekonomik sistemlerde, karar verme çoğunlukla aşağıdaki kriterlerden birine dayanmaktadır.

1. beklenen değer (karlılık, kar veya giderler).

2. örnek varyans veya standart (rms) sapma .

3. Beklenen Değer Kombinasyonları ve dağılım veya Numune standart sapması .

Yorum . rastgele bir değişken altında k her özel durumda, genellikle kabul edilen gösterimde yazılan bu duruma karşılık gelen gösterge anlaşılır: mp – portföy getirisi menkul kıymetler, IRR - (İç Getiri Oranı) iç karlılık oranı vb.

Belirli örnekler üzerinde belirtilen fikri ele alalım.

3.2. Olasılık dağılımları ve beklenen getiriler

Birden fazla kez söylendiği gibi, risk, fiili getirinin beklenen değerinden daha düşük olma olasılığı ile ilişkilidir. Bu nedenle, olasılık dağılımları, bir operasyonun riskini ölçmek için temel oluşturur. Ancak, elde edilen tahminlerin doğası gereği olasılıklı olduğu unutulmamalıdır.

örnek 1. Örneğin, 100.000 $ yatırım yapmayı düşündüğünüzü varsayalım. bir yıllık bir süre için. Alternatif yatırım seçenekleri Tablo'da verilmiştir. 3.1.

Birincisi, bunlar bir yıl vadeli ve %8 gelir oranına sahip, indirimli, yani ortalamanın altında bir fiyatla satın alınabilen ve itfa anında nominal değerleri ödenecek olan GKO-OFZ'lerdir.

Tablo 3.1

Dört yatırım alternatifinin tahmini getirisi

Not. Ekonominin farklı durumlarına karşılık gelen verim, bir değerler aralığı ve bireysel değerleri - bu aralıktaki noktalar olarak düşünülmelidir. Örneğin, hafif bir düşüşte bir şirket tahvilinde %10'luk bir getiri en olası dönüş değeri ekonominin belirli bir durumunda ve hesaplamaların kolaylığı için puan değeri kullanılır.

İkinci olarak, %9 kupon oranıyla satılan (yani, 100.000 dolar yatırılan sermaye için yılda 9.000 dolar alabilirsiniz) ve 10 yıllık vade ile satılan kurumsal menkul kıymetler (mavi fişler). Ancak, bu menkul kıymetleri ilk yılın sonunda satmayı düşünüyorsunuz. Bu nedenle, fiili getiri, yıl sonundaki faiz oranlarının seviyesine bağlı olacaktır. Bu seviye de yıl sonundaki ekonominin durumuna bağlıdır: ekonomik gelişmenin hızlı temposu muhtemelen faiz oranlarında bir artışa neden olacak ve bu da mavi çiplerin piyasa değerini azaltacaktır; ekonomik bir gerileme durumunda ise tam tersi bir durum mümkündür.

Üçüncüsü, 100.000 $ net değere sahip Yatırım Projesi 1. Yıl içinde nakit akışı sıfırdır, tüm ödemeler yıl sonunda yapılır. Bu ödemelerin miktarı ekonominin durumuna bağlıdır.

Ve son olarak, 1. proje ile her bakımdan örtüşen ve sadece ondan farklı olan alternatif yatırım projesi 2. yıl sonunda beklenen ödemelerin olasılık dağılımı .

Altında olasılık dağılımı , olası sonuçların olasılık kümesini anlayacağız (sürekli bir rastgele değişken durumunda, bu olasılık dağılımının yoğunluğu olacaktır). Tablo 1'de sunulan verilerin bu anlamda yorumlanması gerekir. 3.1 dört alternatif yatırım seçeneğine karşılık gelen dört olasılık dağılımı. GKO-OFZ üzerindeki verim tam olarak bilinmektedir. %8'dir ve ekonominin durumuna bağlı değildir.

Soru 1 . GKO-OFZ riski koşulsuz olarak sıfıra eşit olarak kabul edilebilir mi?

Cevap: a) evet; b) Her şeyin o kadar açık olmadığını düşünüyorum, ancak daha eksiksiz bir cevap vermekte zorlanıyorum; c) hayır.

Doğru cevap c).

Herhangi bir yanıt için Yardım 1'e bakın.

Yardım 1 . GKO-OFZ'lere yapılan yatırımlar, yalnızca nominal getiriler belirli bir süre boyunca değişmez. Aynı zamanda onların gerçek getiri, bu menkul kıymetin tutulduğu süre boyunca gerçekleşen enflasyon oranına bağlı olduğundan, belirli bir miktarda risk içerir. Ayrıca, GKO'lar portföyü olan bir yatırımcı için sorun teşkil edebilir. değerli kağıtlar Sürekli gelir elde etmek için: GKO-OFZ ödeme süresi sona erdiğinde fonları yeniden yatırmak gerekir ve faiz oranları düşerse portföy geliri de düşer. adı verilen bu risk türü risk yeniden yatırım oranı , Örneğimizde dikkate alınmamıştır, çünkü yatırımcının GKO-OFZ'ye sahip olduğu süre onların vadesine tekabül etmektedir. Son olarak şunu not ediyoruz ilgili verim Herhangi bir yatırım için bu vergi sonrası getiridir, bu nedenle karar vermek için kullanılan getiri değerleri vergi sonrası geliri yansıtmalıdır.

Diğer üç yatırım seçeneği için, gerçek veya fiili getiriler, ilgili varlık tutma dönemlerinin sonuna kadar bilinmeyecektir. Getiriler kesin olarak bilinmediğinden, bu üç tür yatırım riskli .

Olasılık dağılımları ayrık veya sürekli . ayrık dağıtım olasılıkların sınırlı sayıda sonucu vardır; yani, tabloda. 3.1 Çeşitli yatırım seçeneklerinin kârlılığının ayrı olasılık dağılımları verilmiştir. GKO-OFZ getirisi yalnızca bir olası değer alırken, kalan üç alternatifin her birinin beş olası sonucu vardır. Her sonuca, meydana gelme olasılığı atanır. Örneğin, GKO-OFZ'lerin %8 getiri olasılığı 1,00 iken, kurumsal menkul kıymetlerin %9 getiri olasılığı 0,50'dir.

Her sonucu, oluşma olasılığı ile çarpar ve ardından sonuçları toplarsak, sonuçların ağırlıklı ortalamasını elde ederiz. Ağırlıklar karşılık gelen olasılıklardır ve ağırlıklı ortalama beklenen değer . Sonuçlar olduğundan iç getiri oranları (İç Getiri Oranı, kısaltma IRR), beklenen değer beklenen getiri oranı (Beklenen Getiri Oranı, kısaltma ERR), aşağıdaki gibi gösterilebilir:

ERR = IRRi, (3.1)

nerede IRRI , - mümkünÇıkış; pi- i-inci sonucun ortaya çıkma olasılığı; P - olası sonuçların sayısı.

Karar vericinin (karar vericinin) birkaç olası çözümü dikkate aldığını varsayalım: i = 1,…,m. Karar vericinin faaliyet gösterdiği durum belirsizdir. Yalnızca şu seçeneklerden birinin olduğu bilinmektedir: j = 1,…, n. Eğer i -e kararı verilirse ve durum j -i ise, o zaman karar vericinin başkanlığındaki firma q ij geliri alacaktır. Q = (q ij) matrisine sonuç matrisi (olası çözümler) denir. LPR tarafından hangi kararın alınması gerekiyor? Bu tam belirsizlik durumunda, yalnızca bazı ön önerilerde bulunulabilir. Karar verici tarafından mutlaka kabul edilmeyeceklerdir. Örneğin, çoğu risk iştahına bağlı olacaktır. Ancak bu şemadaki risk nasıl değerlendirilir?
Diyelim ki i -e kararının taşıdığı riski tahmin etmek istiyoruz. Gerçek durumu bilmiyoruz. Ama bilselerdi, en iyi çözümü seçerlerdi, yani. en fazla geliri sağlayan. Şunlar. eğer durum j-th ise, o zaman q ij gelirini veren bir karar verilecekti.
Bu, i -e kararını verirken q j değil sadece q ij alma riskini aldığımız anlamına gelir, bu da i -inci kararın benimsenmesinin r ij = q j - q ij almama riskini taşıdığı anlamına gelir. R = (r ij) matrisine risk matrisi denir.

Örnek 1. Sonuç matrisi olsun
Bir risk matrisi oluşturalım. q 1 = max(q i 1) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12'ye sahibiz. Bu nedenle, risk matrisi

Tam belirsizlik altında karar verme

Wald kuralı(aşırı karamsarlık kuralı). i -e çözümünü göz önünde bulundurarak, aslında durumun en kötüsü olduğunu varsayacağız, yani. en küçük geliri veren a i Ama şimdi en büyük a i0 ile i 0 çözümünü seçelim. Bu nedenle, Wald'un kuralı, şöyle bir i0 kararı verilmesini önerir:
Bu nedenle, yukarıdaki örnekte 1 \u003d 2, 2 \u003d 2, 3 \u003d 3, 4 \u003d 1 var. Bu sayılardan maksimum sayı 3'tür. Bu nedenle, Wald kuralı şunları yapmanızı önerir: 3. karar.

Savage'ın kuralı(minimum risk kuralı). Bu kuralı uygularken risk matrisi R = (rij) analiz edilir. i -e çözümünü göz önünde bulundurarak, aslında bir maksimum risk durumu olduğunu varsayacağız b i = max
Ama şimdi en küçük b i0 ile i 0 çözümünü seçelim. Bu nedenle, Savage'ın kuralı şöyle bir i 0 kararı verilmesini önerir:
İncelenen örnekte, b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7 var. Bu sayıların minimumu 5 sayısıdır. Savage'ın kuralı, 3. kararın verilmesini önerir.

Hurwitz kuralı(duruma kötümser ve iyimser yaklaşımları tartmak). Maksimuma ulaşılan bir karar verilir i
, burada 0 ≤ λ ≤ 1 .
λ değeri öznel değerlendirmelerden seçilir. λ 1'e yaklaşırsa, Hurwitz kuralı Wald kuralına yaklaşır, λ 0'a yaklaşırken Hurwitz kuralı "pembe iyimserlik" kuralına yaklaşır (tahmin et bu ne anlama geliyor). Yukarıdaki örnekte, λ = 1/2 için Hurwitz kuralı 2. çözümü önerir.

Kısmi belirsizlik altında karar verme

Laplace kuralı

Örnek #2. Ekonomik bir problemde istatistiksel bir oyun çözme örneğini düşünün.
Bir tarımsal işletme bazı ürünleri satabilir:
A1) temizlikten hemen sonra;
A2) kış aylarında;
A3) bahar aylarında.
Kar, belirli bir zaman dilimindeki satış fiyatına, depolama maliyetlerine ve olası kayıplara bağlıdır. Tüm uygulama dönemi boyunca farklı devletler-gelir ve maliyet oranları (S1, S2 ve S3) için hesaplanan kar miktarı, bir matris şeklinde sunulur (milyon ruble)

1. Bayes kriteri (maksimum matematiksel beklenti)

bu, bu kritere göre A3 stratejisinin optimal olduğu anlamına gelir - bahar aylarında satış yapmak.

2. Laplace'ın Yetersiz Neden Kriteri (IUT)

3. Wald'ın maksimin kriteri (MM)

4. Karamsarlık-iyimserlik kriteri Hurwitz (P-O)

5. Hodge-Lehmann kriteri (Kh-L)

5. Savage'ın minimum risk kriteri

Çözüm:

1. Strateji A1 (hasattan hemen sonra sat) hiçbir kriterde optimal değildir.
2. Strateji A2 (kış aylarında satış), yetersiz Laplace gerekçesi, Wald's maximin kriteri ve Savage's minimax kriterine göre optimaldir.
3. Strateji A3 (ilkbahar aylarında satmak) Bayes, Hurwitz karamsarlık-iyimserlik, Hodge-Lehmann kriterlerine göre optimaldir.

Örnek #2. Sıradan bir stratejik oyunda, her oyuncu tam olarak kendisi için en faydalı olan ve düşman için daha az faydalı olan eylemleri gerçekleştirir. Oyuncuların makul ve düşmanca rakipler olduğu varsayılır. Bununla birlikte, çoğu zaman, düşmanın bilinçli muhalefetiyle ilişkili olmayan, ancak bazı nesnel gerçekliğe bağlı olan bir belirsizlik vardır.
Tarım işletmesinin üç arazisi vardır: ıslak, orta nemli ve kuru. Bu arazilerden birinin patates yetiştirmek için kullanılması gerekiyor, geri kalanı - yeşil kütle ekimi için. İyi bir patates mahsulü elde etmek için, büyüme mevsimi boyunca toprakta belirli bir miktarda nem gerekir. Aşırı nem ile bazı bölgelerde ekilen patatesler çürüyebilir ve yetersiz yağış ile zayıf gelişir, bu da verimde düşüşe neden olur. Hava koşullarına bağlı olarak, her alandaki ortalama patates verimi biliniyorsa, iyi bir hasat elde etmek için hangi alana patates ekeceğinizi belirleyin. Konum açık 1 verim, normal miktarda yağışla, sırasıyla normdan daha fazla ve daha az olan 1 hektar başına 200, 100 ve 250 centner'dir. Aynı şekilde bölgede A2- 230, 120 ve 200 c ve sitede 3- 240, 260 ve 100 c.
Bir oyun yaklaşımı kullanalım. Tarımsal işletme - oyuncu A, üç stratejisi vardır: 1- patatesleri nemli bir alana ekmek, A2- orta nemli bir alanda, 3- kuru bir alanda. oyuncu P- üç stratejisi olan doğa: 1 normalden daha az yağışa karşılık gelir, P2- norm, P3- Normalden daha fazla. Her strateji çifti için bir tarımsal işletmenin getirisi ( AI, p j) 1 hektar başına patates verimi ile verilmektedir.

Örnek 9Şirket, satışı hava durumuna bağlı olan popüler çocuk elbiseleri ve takım elbise üretmektedir. Şirketin Ağustos-Eylül aylarında üretim birimi başına maliyetleri şu şekildeydi: elbiseler - 7 den. birimler, kostümler - 28 den. birimler Satış fiyatı 15 ve 50 den. birimler sırasıyla. Geçtiğimiz birkaç yıldaki gözlemlere göre şirket, sıcak havalarda 1.950 elbise ve 610 takım elbise, serin havalarda ise 630 elbise ve 1.050 takım elbise satabiliyor.
Bir ödeme matrisi oluşturun.
Çözüm. Firmanın iki stratejisi vardır: 1: havanın sıcak olacağını varsayarak ürünleri serbest bırakın; A2: havanın serin olacağını varsayarak ürünleri serbest bırakın.
Doğanın iki stratejisi vardır: B1: hava ılık; B2: hava soğuk.
Getiri matrisi elemanlarını bulalım:
1) a 11 - bir strateji seçerken şirketin geliri 1şartıyla B1:
11 \u003d (15-7) 1950 + (50-28) 610 \u003d 29020.
2) a 12 - seçim yaparken firmanın geliri 1şartıyla B2. Şirket, 1.950 elbise üretecek ve elbise satışından elde edilen geliri 630 adet satacak.
(15-7) 630-7 (1950-630)=5040-9240
12 \u003d 5040-9240 + 22 610 \u003d 9220.
3) strateji için benzer şekilde A2 koşullarda B1 firma 1.050 takım elbise üretecek ve 610 adet satacak;
a 21 =8 630+22 610-28 (1050-610)=6140
4) 22 \u003d 8 630 + 22 1050 \u003d 28140
Ödeme matrisi:

Örnek 2. Dernek, üç yatakta maden arama çalışmaları yapmaktadır. Dernek araçları havuzu 30 den yapar. birimler İlk para yatırma işleminde para M1 9 den'nin katlarına yatırım yapılabilir. birim, ikinci M2– 6 den. birim, üçüncü M3– 15 den. birimler Planlama döneminin sonundaki maden fiyatları iki durumda olabilir: C1 ve C2. Uzmanlar, durumun C1 madenden kar etmek M1 yatırılan miktarın %20'si oranında olacaktır. birimler için, geliştirme için M2– %12 ve M3- % onbeş. bir durumda C1 Planlanan dönem sonunda sahalarda %17, %15, %23 kar elde edilecektir. M1, M3, M3 sırasıyla.
oyuncu A- bir dernek. oyuncu P(doğa) - alanlarda belirli bir karı belirleyen bir dizi dış koşul. oyuncu A mevcut fonlardan tam olarak yararlanmak için dört olasılık vardır. ilk strateji A 1 bu A yatırım yapacak M 1 9 gün birimler, içinde M 2 - 6 den. birimler, içinde M 3 - 15 den. birimler İkinci strateji A 2: içinde M 1 - 18 den. birimler, içinde M 2 - 12 den. birimler, içinde M 3 para yatırmayın. üçüncü strateji A 3: 30 den. birimler yatırım M 3. Dördüncü strateji A dört:. 30 den. birimler yatırım M 2. Kısaca yazılabilir A 1 (9, 6, 15), A 2 (18, 12, 0), A 3 (0, 0, 30), A 4 (0, 30, 0).
Doğa, planlama döneminin sonunda mineraller için farklı fiyatlar ile karakterize edilen iki durumundan birini gerçekleştirebilir. Doğa durumlarını belirtin P 1 (20 %, 12 %, 15 %), P 2 (17 %, 15 %, 23 %).
Getiri matrisinin a ij öğeleri, aşağıdaki şekilde bir araya getirilerek elde edilen toplam kâr anlamına gelir. farklı durumlar (AI, p j) (i=1, 2, 3, 4, j= 1, 2). Örneğin, hesaplayalım a duruma karşılık gelen 12 ( 1, P2), yani derneğin mevduata yatırım yaptığı durum M 1 , M 2 , M 3, sırasıyla 9 den. üniteler, 6 den. birimler, 15 den. birimleri ve planlama döneminin sonunda fiyatlar devletteydi. C2:
12\u003d 9 0.17 + 6 0.15 + 15 0.23 \u003d 5.88 den. birimler

Örnek 3. Birinciden beşinciye kadar bir kategoriye sahip olabilecek sel bekleniyor. Sel hasarı:

"Doğa" ile oyunlar

• ilk saf strateji, tüm arazi parçasının A1 mahsulü ile ekileceğini varsayar;
• ikinci saf strateji, arazinin tamamının A 2 mahsulü ile ekileceğini varsayar;
• üçüncü saf strateji, tüm alanın A 3 mahsulü ile ekileceğini varsayar.

• birinci saf strateji B1'e karşılık gelen kuru hava;
• ikinci saf strateji B2'ye karşılık gelen normal hava durumu;
• üçüncü saf stratejiye karşılık gelen yağmurlu hava B 3 .

Örnek. Farklı doğa durumları - talep piyasası altında üretim çıktısının planlanması.
Bir işletme 4 çeşit ürün üretebilir: A 1, A 2, A 3, A 4, kar ederken. Değeri, dört olası durumdan birinde olabilen talep durumuna (piyasanın doğası) göre belirlenir: B 1 , B 2 , B 3 , B 4 . Kâr miktarının ürün türüne ve pazarın durumuna bağımlılığı tabloda sunulmaktadır:

İkinci oyuncunun görevi kayıp minimizasyonuV	İlk oyuncunun görevi getiri maksimizasyonuV
amaç fonksiyonu
F / = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =→ maks	F = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 =→ min
Fonksiyonel sınırlamalar
Doğrudan Kısıtlamalar
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0	y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0

Örnek. Şirket, tüketici talebi P j , j=1,4 (düşük, orta, yüksek, çok yüksek) için olası seçenekleri dikkate alarak ürünlerini pazarlarda satmayı planlamaktadır. Şirket, A 1 , A 2 , A 3 mallarını satmak için üç strateji geliştirmiştir . Stratejiye ve tüketici talebine bağlı olarak ticaret hacmi (para birimleri) tabloda sunulmaktadır.

Çözüm hesap makinesi ile bulun.
Bayes kriteri.
Bayes kriterine göre, (saf) strateji Ai, ortalama kazancı a maksimize ediyorsa veya ortalama risk r'yi minimize ediyorsa optimal olarak alınır.
∑(a ij p j) değerlerini dikkate alıyoruz
∑(a 1,j p j) = 33 0,3 + 10 0,2 + 20 0,4 + 26,5 0,1 = 22,55
∑(a 2,j p j) = 50 0,3 + 67 0,2 + 11,5 0,4 + 25 0,1 = 35,5
∑(a 3,j p j) = 23,5 0,3 + 35 0,2 + 40 0,4 + 58,5 0,1 = 35,9

Şirket yönetimi, yeni bir ürünün üretimini belirli bir yere yerleştirmeye karar verir. Üretim geliştirme sırasında yeni bir ürünün pazarındaki durum hakkında bir fikir oluşturmak için teslimat maliyetlerini hesaba katması gerekir. bitmiş ürün tüketiciye, bölgenin ulaşım ve sosyal altyapısının gelişmesi, pazardaki rekabet, arz ve talep oranı, döviz kurları ve çok daha fazlası. Yatırım çekiciliği, sermaye yatırımlarının miktarına göre gelir artışının yüzdesi olarak tanımlanan olası çözümler tabloda sunulmaktadır.
Seçmek:
1) işletme başkanı, 4. durumun piyasada gelişeceğinden eminse, üretimin yerleştirileceği bir yer;
2) yönetimin durum 1'in olasılığını 0,2 olarak tahmin etmesi durumunda, üretimin yerleştirileceği bir yer; durumlar 2'de 0.1; 0.25'te 3 durum;
3) kritere göre belirsizlik koşulları altında bir varyant seçin: maximax, maximin, Laplace kriteri, Savage kriteri, Hurwitz kriteri (y = 0.3);
4) a değeri 0,5'e yükseltilirse Hurwitz kriterine göre en iyi çözüm değişir mi?
5) bu tabloların işletmenin maliyetlerini temsil ettiğini varsayarak, işletmenin aşağıdaki kriterlerin her birini kullanırken yapacağı seçimi belirleyin: maximin; maksimum; Hurwitz kriteri (? = 0.3); Savage'ın kriteri; Laplace kriteri

Tipik görevler

1. Laplace, Wald, maksimum iyimserlik, Savage ve Hurwitz kriterlerini a=0.58'de kullanarak inşaat için en uygun projeyi seçin. Maliyet matrisi şöyle görünür:

   0.07	0.26	0.11	0.25	0.1	0.21
   68	45	54	79	47	99
   56	89	42	56	74	81
   72	87	56	40	62	42
   65	48	75	89	52	80
   69	93	93	56	45	43
   73	94	79	68	67	46
   66	100	64	89	94	49
   70	42	97	42	42	50

2. Bir perakendeci, değişen piyasa koşullarını ve müşteri talebini göz önünde bulundurarak, yaklaşan bir fuarda mal satmak için bir plan için çeşitli seçenekler geliştirdi, bunların olası kombinasyonlarından kaynaklanan karlar bir ödeme matrisi şeklinde sunuldu. Mal satmak için en iyi planı belirleyin.
   x=0.7
3. Şirket, tüketici talebi П, j=1͞,4͞ (düşük, orta, yüksek, çok yüksek) için olası seçenekleri dikkate alarak ürünlerini pazarlarda satmayı planlıyor. Şirket, A 1 , A 2 , A 3 mallarını satmak için üç strateji geliştirmiştir . Stratejiye ve tüketici talebine bağlı olarak ticaret hacmi (para birimleri) tabloda sunulmaktadır.

   bir j	p j
   	1	P2	P3	P4
   1	30+N	10	20	25 + N/2
   2	50	70-N	10 + N/2	25
   3	25-N/2	35	40	60-N

   
   N=3 nerede
   Sırasıyla, q1 =0.3, q2 =0.2, q3 =0.4, q4 =0.1 olan tüketici talebinin olası durumları bilinmektedir. Firmanın ortalama cirosunu maksimize eden bir satış stratejisi bulmak gerekir. Bu durumda Wald, Hurwitz, Savage, Bayes kriterlerini kullanın.
   Çözüm
4. Nisan - Mayıs aylarında fabrikanın üretim birimi başına maliyeti: elbiseler - 8 para birimi, takım elbise - 27 ve satış fiyatı sırasıyla 16 ve 48'dir.Geçmiş gözlemlere göre, fabrika bu aylarda sıcak satış yapabilir. hava koşulları 600 takım elbise ve 1975 elbise ve serin havalarda - 625 elbise ve 1000 takım elbise.